如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠...

问题详情：

如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（    ）.

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

【回答】

D

【解析】

分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．*△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；

详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD=2AD，DF=FC，

∴CF=CB，

∴∠CFB=∠CBF，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠FBH，

∴∠CBF=∠FBH，

∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，

∵DE∥CG，

∴∠D=∠FCG，

∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，

∴△DFE≌△FCG，

∴FE=FG，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBG=90°，

∴BF=EF=FG，故②正确，

∵S△DFE=S△CFG，

∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，

∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，

∴CF=BH，∵CF∥BH，

∴四边形BCFH是平行四边形，

∵CF=BC，

∴四边形BCFH是菱形，

∴∠BFC=∠BFH，

∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，

∴FH⊥BE，

∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，

∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，

故选D．

点睛：本题考查平行四边形的*质和判定、菱形的判定和*质、直角三角形斜边中线的*质、全等三角形的判定和*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

知识点：特殊的平行四边形

题型：选择题