如图,抛物线y=ax2﹣1(a>0)与直线y=kx+3交于MN两点,在y轴负半轴上存在一定点P,使得不论k取何...
问题详情:
如图,抛物线y=ax2﹣1(a>0)与直线y=kx+3交于MN两点,在y轴负半轴上存在一定点P,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称,则点P的坐标是_____
【回答】
(0,-5)
【解析】如图作MB⊥y轴,NA⊥y轴
∵M,N是直线y=kx+3的点
∴设M(xM,kxM+3),N(xN,kxN+3),P(0,t)
∵抛物线y=ax2﹣1(a>0)与直线y=kx+3交于MN两点
∴ax2﹣1=kx+3
ax2﹣kx﹣4=0
∴xM+xN=,xM×xN=﹣,
∵直线PM与PN总是关于y轴对称
∴∠MPA=∠NPA,且∠MBP=∠NAP=90°
∴△MBP∽△NAP,
∴即 ,
∴(﹣xM﹣xN)(3﹣t)=2kxMxN
∴﹣(3﹣t)=2k×(-),
∴t=﹣5
∴P(0,﹣5).
故*为(0,﹣5)
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:填空题