.如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB为...

国语站题库 1.61W

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.如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（Ⅰ）求*：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．

【回答】

.*：（Ⅰ）∵AB=2CD，O是线段AB的中点，∴OB=CD，又∵OB∥CD，∴四边形OBCD为平行四边形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，又∵O是等腰直角△EAB斜边上的中点， ∴EO⊥AB， ∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD， ∵AB⊂平面ABE， ∴平面ABE⊥平面EOD．解：（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB， ∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD， ∴OB，OD，OE两两垂直，以O 为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， ∵△EAB为等腰直角三角形，且CD=BC=1， ∴OA=OB=OD=OE=1， ∴O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0）， C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）， ∴=（-1，0，0），=（0，-1，1），设平面ECD的一个法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1）， ∵OD⊥平面ABE，∴是平面ABE的一个法向量，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|==， ∴平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小为45°．