如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，   点M、N、P分...

问题详情：

    如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，    点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．

   （1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是            ；

   （2）探究*：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否

        发生改变？并说明理由；

   （3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出

        △PMN的周长的最大值．

【回答】

解：（1）如图1，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，

            ∵AD=AE，∴BD=CE，∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．

            ∴PM∥CE，PM=CE，PN∥BD，PN=BD，

            ∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，

            ∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；

            故*为等边三角形；

       （2）△PMN的形状不发生改变，

            仍然为等边三角形．理由如下：

            连接CE、BD，如图2，

            ∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，

            ∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

            与（1）一样可得PM∥CE，PM=CE，PN∥BD，PN=BD，∴PM=PN，

            ∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠BCE=∠ABC

            -∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，

            ∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．

       （3）∵PN=BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大，

            ∵AB-AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）

            ∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN周长的最大值为6．

知识点：图形的旋转

题型：解答题