在①sinA=2sinB,②a+b=6,③ab=12.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形...
问题详情:
在①sinA=2sinB,②a+b=6,③ab=12.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求出△ABC的面积;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,c=3,________.
【回答】
*见解析
【解析】
根据已知条件先求解出的值,若选条件①:使用正、余弦定理求解出的值,然后利用三角形面积公式求解出三角形面积;若选条件②:利用余弦定理结合已知条件求解出的值,再利用三角形面积公式求解出三角形的面积;若选条件③:先利用余弦定理分析出的取值范围,然后推出矛盾,说明三角形不存在.
【详解】
解法一:由
结合正弦定理可得:
因为sinA≠0,所以
因为所以
因为,所以
因为C∈(0,π),所以,所以C=60°
解法二:由
结合正弦定理可得:
因为sinA≠0,所以
因为,C(0,π),所以或者(舍去)
所以A+B=2C,所以C=60°
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,所以9=a2+b2-ab
选择条件①的解析:根据sinA=2sinB,结合正弦定理得a=2b
联立方程组解得:
所以△ABC的面积
选择条件②的解析:
联立方程组,化简得:解得
(注:没有解出a,b,则需说明△ABC存在)
所以△ABC的面积
选择条件③的解析:由9=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab得ab≤9
与ab=12矛盾,所以问题中的三角形不存在
【点睛】
本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用,主要考查学生对于正、余弦定理以及三角形面积公式的运用,难度一般.
知识点:三角函数
题型:解答题