已知函数.(Ⅰ)若无极值点,但其导函数有零点,求的值;(Ⅱ)若有两个极值点,求的取值范围,并*的极小值小于.
问题详情:
已知函数.
(Ⅰ)若无极值点,但其导函数有零点,求的值;
(Ⅱ)若有两个极值点,求的取值范围,并*的极小值小于.
【回答】
(Ⅰ)首先,
有零点而无极值点,表明该零点左右同号,故,且的由此可得
(Ⅱ)由题意,有两不同的正根,故.
解得:
设的两根为,不妨设,因为在区间上, ,而在区间上,,故是的极小值点.
因在区间上是减函数,如能*则更有
由韦达定理,,
令其中设 ,利用导数容易*当时单调递减,而,因此,即的极小值
(Ⅱ)另*:实际上,我们可以用反代的方式*的极值均小于.
由于两个极值点是方程的两个正根,所以反过来,
(用表示的关系式与此相同),这样
即,再*该式小于是容易的(注意,下略).
知识点:导数及其应用
题型:解答题