已知函数,且恒成立.(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求为何值时,在上取得最大值;(Ⅲ)设,若是单调递增函数,求的取值范围.
问题详情:
已知函数,且恒成立.
(Ⅰ)求的值
(Ⅱ)求为何值时,在上取得最大值;
(Ⅲ) 设,若是单调递增函数,求的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ) ∵,且恒成立,
∴的定义域为(2,∞),且是的最小值.
又∵.
∴,解得.
(Ⅱ)由上问知
∴当时,;
当时,
∴在(2,4)上是减函数,在(4,+∞)是增函数
∴在上的最大值应在端点处取得.
∵,
∴ .即当时,取得在上的最大值.
(Ⅲ) ∵是单调递增函数,∴恒成立.
又∵.
显然在的定义域(2,∞)上, 恒成立.
∴在(2,∞)上恒成立.
下面分情况讨论在(2,∞)上恒成立时,的解的情况.
当时,显然不可能有在(2,∞)上恒成立.
当时,在(2,∞)上恒成立.
当时,又有两种情况:
①;
②且
由①得,无解;由②得.
∵,∴
综上所述各种情况,当时,在(2,∞)上恒成立.
∴所求的的取值范围为.
知识点:导数及其应用
题型:计算题