已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex...

问题详情：

已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．

（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函数h（x）的最小值；

（2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．

【回答】

②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．

∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．

③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．

综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣ea﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．

（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．

①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．

②当a≤﹣1时，令，解得：，此时

∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，

即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．

③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．

∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，

∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，

又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．

综上所述：a≤﹣1．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题