如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、...

问题详情：

如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．

②求*：∠BNM＝∠ONM．

【回答】

解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3）

∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3

∵二次函数图象过点A（6，0）

∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣

∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x

（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）

∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x

∵OB交对称轴l于点M

∴当xM＝3时，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6

∴M（3，﹣b+6）

∵点M、N关于点P对称

∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，

∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）

①∵OP＝MN

∴OP＝MP

∴＝b﹣3

解得：b＝3+3

∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3

∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）

∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36

∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2

∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．

②*：如图，设直线BN与x轴交于点D

∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）

设直线BN解析式为y＝kx+d

∴  解得：

∴直线BN：y＝﹣bx+2b

当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6

∴D（6，0）

∵C（3，0），NC⊥x轴

∴NC垂直平分OD

∴ND＝NO

∴∠BNM＝∠ONM

知识点：各地中考

题型：综合题