已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总...

问题详情：

已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线，求*：当时，；

（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．

【回答】

（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．

【解析】

（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；

（2）利用反*法*即可；

（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的*质求解即可．

【详解】

解：（1）对于，

当时，，所以；

当时，，，所以，

又因为，所以或，

若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．

若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．

故可设二次函数的表达式为，

依题意，二次函数的图象过，两点，

所以，解得

所求二次函数的表达式为．

（2）当时，直线与直线不重合，

假设和不平行，则和必相交，设交点为，

由得，

解得，与已知矛盾，所以与不相交，

所以．

（3）如图，

因为直线过，所以，

又因为直线，所以，即，

所以，，

所以，所以，

设，则，

，

所以，

所以

所以当时，的最小值为．

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的图象与*质、相似三角形的*质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题