已知二次函数对任意的都有，且．（1）求函数的解析式；（2）设函数．①若存在实数，，使得在区间上为单调函数，且取...
问题详情：
已知二次函数
对任意的
都有
，且
．
（1）求函数
的解析式；
（2）设函数
．
①若存在实数
，
，使得
在区间
上为单调函数，且
取值范围也为
，求
的取值范围；
②若函数
的零点都是函数
的零点，求
的所有零点．
【回答】
（1）
；（2）①
；②见详解.
【解析】
（1）先设二次函数
的解析式为
，根据题意列出系数对应的方程组，求解，即可得出结果；
（2）①由（1）可得:
，对称轴
，由函数
在区间
上单调，得到
或
，分别研究
和
两种情况，结合题中条件，以及二次函数*质，即可得出结果；
②先设
为
的零点，由题意得到
，即
，求出
或
，分别研究
和
两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）设二次函数
的解析式为
，
则
，
由
得
恒成立，又
，
所以
，所以
，所以
；
（2）①由（1）可得:
，对称轴
，
在区间
上单调，
所以
或
，
当
时，
在区间
上单调增，所以
，即
为
的两个根，所以只要
有小于等于2两个不相等的实根即可，
所以
要满足
，得
当
时，
在区间
上单调减，所以
，即
两式相减得
，因为
，所以
，
所以
，
，得
；
综上，
的取值范围为
②设
为
的零点，则
，即
，得
或
，
当
时，
所以
所有零点为
；
当
时，
由
得
，
所以
所有零点
．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式，求函数零点，以及由函数单调*与值域求参数的问题，熟记二次函数的*质，以及根的存在*及根的个数的判断方法即可，属于常考题型.
知识点：函数的应用
题型：解答题
