如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线与AB交于E,点F在DE的延长线上,∠BFE=90°,连接AF、CF,...
问题详情:
如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线与AB交于E,点F在DE的延长线上,∠BFE=90°,连接AF、CF,CF与AB交于G,有以下结论:
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FG•FC
④EG•AE=BG•AB
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
C
【分析】
①只要*△ADE为等腰直角三角形即可
②只要*△AEF≌△CBF(SAS)即可;
③假设BF2=FG•FC,则△FBG∽△FCB,推出∠FBG=∠FCB=45°,由∠ACF=45°,推出∠ACB=90°,显然不可能,故③错误,
④由△ADF∽△GBF,可得,由EG∥CD,推出,推出,由AD=AE,得EG•AE=BG•AB,故④正确,
【详解】
①DE平分∠ADC,∠ADC为直角,
∴∠ADE=×90°=45°,
∴△ADE为等腰直角三角形,
∴AD=AE,
又∵四边形ABCD矩形,
∴AD=BC,
∴AE=BC
②∵∠BFE=90°,∠BEF=∠AED=45°,
∴△BFE为等腰直角三角形,
∴则有EF=BF
又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°,∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°,
∴∠AEF=∠CBF
在△AEF和△CBF中,AE=BC,∠AEF=∠CBF,EF=BF,
∴△AEF≌△CBF(SAS)
∴AF=CF
③假设BF2=FG•FC,则△FBG∽△FCB,
∴∠FBG=∠FCB=45°,
∵∠ACF=45°,
∴∠ACB=90°,显然不可能,故③错误,
④∵∠BGF=180°-∠CGB,∠DAF=90°+∠EAF=90°+(90°-∠AGF)=180°-∠AGF,∠AGF=∠BGC,
∴∠DAF=∠BGF,∵∠ADF=∠FBG=45°,
∴△ADF∽△GBF,
∴,
∵EG∥CD,
∴,
∴,∵AD=AE,
∴EG•AE=BG•AB,故④正确,
故选C.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和*质、矩形的*质、等腰直角三角形的判定和*质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题