已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交於M,N兩點.(1)求k的取值範...
問題詳情:
已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交於M,N兩點.
(1)求k的取值範圍;
(2)若=12,其中O為座標原點,求|MN|.
【回答】
解:(1)由題設可知直線l的方程為y=kx+1.
因為直線l與圓C交於兩點,所以<1,
解得
所以k的取值範圍為.
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2).
將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=+8.
由題設可得+8=12,解得k=1,所以直線l的方程為y=x+1.
故圓心C在直線l上,所以|MN|=2.
知識點:圓與方程
題型:解答題