已知拋物線 y=(m－1)x2＋(m－2)x－1與x軸交於A、B兩點.(Ⅰ)求m的取值範圍;(Ⅱ)若m＜0,且...

問題詳情：

已知拋物線 y=(m－1)x2＋(m－2)x－1與x軸交於A、B兩點. (Ⅰ)求m的取值範圍; (Ⅱ)若m＜0,且點A在點B的左側,OA:OB=3:1,試確定拋物線的解析式; (Ⅲ)設(Ⅱ)中拋物線與y軸的交點為C,過點C作直線l∥x軸,將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折,拋物線的其餘部分保持不變,得到一個新圖象.當直線y＝－x＋b與新圖象只有一個公共點P(x0,y0)且 y0≥－5時,求b的取值範圍.

【回答】

解:(Ⅰ)∵拋物線y=(m－1)x2＋(m－2)x－1與x軸交於A、B兩點, ∴, 由①得m≠1, 由②得m≠0, ∴m的取值範圍是m≠0且m≠1;   (Ⅱ)∵點A、B是拋物線y=(m－1)x2＋(m－2)x－1與x軸的交點, ∴令y=0,即 (m－1)x2＋(m－2)x－1=0. 解得 x1=－1,x2＝. ∵m＜0, ∴−1＜＜0. ∵點A在點B左側, ∴點A的座標為(－1,0),點B的座標為(,0). ∴OA=1,OB=. ∵OA:OB=3:1, ∴＝. ∴m＝－2. ∴拋物線的解析式為y＝－3x2−4x−1.    (Ⅲ)∵點C是拋物線y＝－3x2−4x−1與y軸的交點, ∴點C的座標為(0,－1). 依題意翻折後的圖象如解圖所示. 令y=－5,即－3x2−4x−1＝－5. 解得x1=,x2=－2. ∴新圖象經過點D(－2,－5). 當直線y＝－x＋b經過D點時,可得b=－7. 當直線y＝－x＋b經過C點時,可得b=－1. 當直線y＝－x＋b(b＞−1)與函數y＝－3x2−4x−1的圖象僅有一個公共點P(x0,y0)時,得－x0＋b＝－3x02−4x0−1. 整理得 3x02＋3x0＋b＋1＝0. 由32－12(b＋1)=－12b－3=0,得b＝−. 結合圖象可知,符合題意的b的取值範圍為－7≤b＜－1或b＞−.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題