如圖,在直三棱柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1, ,M爲側棱CC1上一點,AM⊥BA1.(...
問題詳情:
如圖,在直三棱柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1, ,M爲側棱CC1上一點,AM⊥BA1.
(1)求*:AM⊥平面A1BC;
(2)求二面角B AM C的大小;
(3)求點C到平面ABM的距離.
【回答】
*:(I)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知面ACC1A1⊥面ABC,
∵∠ACB = 90°,
∴BC⊥面ACC1A1,
∵AM面ACC1A1
∴BC⊥AM
∵AM⊥BA1,且BC∩BA1=B
∴AM⊥平面A1BC
(II)設AM與A1C的交點爲O,連結BO,由(I)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,所以∠BOC爲二面角B AM C的平分角
在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC +∠ACO=90°,
∴∠AA1C =∠MAC
∴Rt△ACM∽Rt△A1AC
∴AC2 = MC・AA1
,故所求二面角的大小爲45°
(III)設點C到平面ABM的距離爲h,易知BO=,
可得
∴點C到平面ABM的距離爲
解法二:(I)同解法一
(II)如圖以C爲原點,CA,CB,CC1所在直線分別爲x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系,則
即
設向量,則
的平面AMB的一個法向量爲
是平面AMC的一個法向量
易知,所夾的角等於二面角B AM C的大小,故所求二面角的大小爲45°
(III)向量即爲所求距離
∴點C到平面ABM的距離爲
知識點:空間幾何體
題型:計算題