．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．（1）求*：AB1⊥...

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問題詳情：

．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．

（1）求*：AB1⊥BC1；

（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．

【回答】

【考點】MT：二面角的平面角及求法．

【分析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1，則AC⊥BC1，再由BC=CC1，得BC1⊥B1C，由線面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，從而得到AB1⊥BC1；

（2）設BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1於點P，連結BP．由（1）知BO⊥AB1，進一步得到AB1⊥平面BOP，說明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然後求解直角三角形得*．

【解答】（1）*：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，則AC⊥CC1．

又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，

∴AC⊥平面B1BCC1，則AC⊥BC1，

∵BC=CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形，

∴BC1⊥B1C，

又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，則AB1⊥BC1；

（2）解：設BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1於點P，連結BP．

由（1）知BO⊥AB1，而BO∩OP=O，

∴AB1⊥平面BOP，則BP⊥AB1，

∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．

∵△OPB1～△ACB1，∴，

∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP=，

∴=．

在Rt△POB中，sin∠OPB=，

∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值爲．

知識點：點直線平面之間的位置

題型：解答題

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