如图1，已知直线y=2x分别与双曲线y=、y=（x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ． ...
问题详情：
如图1，已知直线y=2x分别与双曲线y=
、y=
（x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ．
（1）求k的值．
（2）如图2，若点A是双曲线y=
上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=
（x＞0）于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若点D是直线y=2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
【回答】
【解答】解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
联立
，
解得：
或
．
∵x＞0，
∴点P的坐标为（2，4）．
∴OF=2，PF=4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴QE∥PF．
∴△OEQ∽△OFP．
∴
=
=
．
∵OP=2OQ，
∴OF=2OE=2，PF=2EQ=4．
∴OE=1，EQ=2．
∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y=
上，
∴k=1×2=2．
∴k的值为2．
（2）如图2，
设点A的坐标为（a，b），
∵点A（a，b）在双曲线y=
上，
∴b=
．
∵．AB∥x轴，AC∥y轴，
∴xC=xA=a，yB=yA=b=
．
∵点B、C在双曲线y=
上，
∴xB=
=
，yC=
．
∴点B的坐标为（
，），点C的坐标为（a，）．
∴AB=a﹣=
，AC=
﹣
=
．
∴S△ABC=
ABAC
=
×
×
=
．
∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于
．
（3）①AC为平行四边形的一边，
Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴xD=xB=
．
∴yD=2xD=
．
∴DB=
﹣
．
∵AC=
﹣
=
，
∴
=
﹣
．
解得：a=±2
．
经检验：a=±2
是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=2
．
∴b=
=
．
∴点A的坐标为（2
，
）．
Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
∵四边形ACDB是平行四边形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴xD=xB=
．
∴yD=2xD=
．
∴DB=
﹣
．
∵AC=
，
∴
=
﹣
，
解得：a=±2．
经检验：a=±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=2．
∴b=
=4．
∴点A的坐标为（2，4）．
②AC为平行四边形的对角线，
此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴yD=yC=
．
∴xD=
=
．
∴CD=
﹣a．
∵AB=a﹣
=
，
∴=
﹣a．
解得：a=±
．
经检验：a=±
是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=
．
∴b==4
．
∴点A的坐标为（，4
）．
综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2，
）或（2，4）或（
，4）．
知识点：反比例函数
题型：综合题
