如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是平行四边形，已知点C在x轴正半轴上，连接AC．（1）若点...

问题详情：

如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是平行四边形，已知点C在x轴正半轴上，连接AC．

（1）若点A、C的坐标分别为（1，2）、，求B点坐标和平行四边形的面积．

（2）若点A的坐标为（3，4），当OA=OC时，点D在线段上，且DC=1，问：在线段AC上是否存在一点P，使OP+PD值最小？若存在，求出OP+PD的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）的条件下，将△ABC沿AC翻折得到△AB’C，AB’交OC于点Q，若CO恰好平分∠ACB’，求的值．

【回答】

解：（1）如图1，过点A作AE⊥OC于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

则∠AEO=∠BFC=90°，

∵四边形AOCB是平行四边形，

∴OA=BC，OA∥CB，

∴∠AOE=∠BCF，

∴△AOE≌△BCF（AAS），

则CF=OE=1、BF=AE=2，

∵OC=，

∴OF=OC+CF=+1=，

则点B坐标为（，2），S平行四边形AOCB=OC•BF=×2=5．

（2）如图2，连接BO交AC于点Q，连接BD交AC于点P，

由A（3，4）知OE=CF=3、AE=4，

则OA=OC=BC=5，

∵四边形AOCB是平行四边形，且OA=OC，

∴四边形AOCB是菱形，

则AC、BD互相垂直平分，

∴点P即为所求，PO+PD=PB+PD=BD，

∵DC=1、CF=3，

∴DF=4，

∵BF=4，

∴PO+PD=PB+PD=BD=4；

（3）∵四边形AOCB是平行四边形，

∴∠AOQ=∠B，

由翻折变换知∠B=∠B′，

∴∠AOQ=∠B′，

∵∠AQO=∠CQB′，

∴∠OAQ=∠B′CQ，

∵CO恰好平分∠ACB′，

∴∠B′CQ=∠ACO，

∴∠OAQ=∠ACO，

∴△AOQ∽△COA，

∴=，

∵A（1，2）、C（，0），

∴OA=、OC=，

∴=，

解得：OQ=2，

则===．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题