如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数...

问题详情：

如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．

【回答】

【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的*质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；

（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．

【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，

∵△OAB是等边三角形，

∴∠AOB＝60°，OC＝OB，

∵B（4，0），

∴OB＝OA＝4，

∴OC＝2，AC＝2．

把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）分两种情况讨论：

①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．

由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，

在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝，B′E＝1．

∴O′E＝3，

把y＝代入y＝，得x＝4，

∴OE＝4，

∴a＝OO′＝1；

②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．

由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，

在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝1．

把y＝代入y＝，得x＝4，

∴OH＝4，

∴a＝OO′＝3，

综上所述，a的值为1或3．

【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的*质以及分类讨论思想是解题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题