如图，抛物线（）过点和，点是抛物线的顶点，点是轴下方抛物线上的一点，连接，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图...

问题详情：

如图，抛物线（）过点和，点是抛物线的顶点，点是轴下方抛物线上的一点，连接，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当时，求点的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是线段上的动点（点不与点和点重合，连接，将沿折叠，点的对应点为点，与的重叠部分为，在坐标平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）；（2）；（3）存在，(，)或(，)或(，)

【解析】

（1）把点O(0，0)和A(6，0)分别代入解析式即可求解；

（2）分别求得点B、C、E的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，解方程组即可求得点D的坐标；

（3）分三种情况讨论，利用解直角三角形求解即可．

【详解】

（1）把点和分别代入中，得：

，

解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）如图，设抛物线的对称轴与轴相交于点C，与相交于点E，

∵，

∴顶点，对称轴与轴的交点C(3，0)，

∴OC=3， CB=，

∵在中，，

∴，

∵，

∴，

∴在中，，

∴点E的坐标为(3，)，

设直线的解析式是（），

把点E (3，)代入，得：

解得，

∴直线的解析式是，

∴，

解得（舍去），，

∴当时，，

∴点D的坐标为(5，)；

（3）存在，理由如下：

由（2）得：∠COE=∠EOB=30，CE=，BE=OE=2CE=2，

①当∠EFG=90时，如图：

点、G与点O重合，此时四边形EFGH为矩形，

过H作HP⊥OC于P，

∵∠COE=∠EOB=30，

∴OH=EF=CE=，

∴∠HOP=90-∠COE-∠EOB=30，

∴HP=OH=，OP=HP=，

点H的坐标为(，)；

②当∠EGF=90时，此时四边形EGFH为矩形，如图：

∵∠CEO=90-∠COE=60，∠OEG=90-∠EOB=60，

∠BEG=180-∠CEO-∠OEG=60，

根据折叠的*质：∠EF=∠BEF==30，

在Rt△EGF中，∠EGF=90，∠GEF=30，GE=CE=，

∴GF=GE=1，

∴EH=GF=1，

过H作HQ⊥BC于Q，

∴∠HEQ=90-∠BEG =30，

∴HQ=EH=，EQ=HQ=，

点H的坐标为(，)，即(，)；

③当点G在OD上，且∠EGF=90时，此时四边形EGFH为矩形，如图：

∵∠BOE=30，

∴∠OFG=90-∠EOB=60，

根据折叠的*质：∠E=∠BFE== =60，

∴FG是线段OE的垂直平分线，

∴OG=GE=OE=，EH=GF=OG=1，

过H作HK⊥BC于K，

∴∠HEK=180-∠OEC-∠OEH=30，

∴HK=EH=，EK=HK=，

点H的坐标为(，)，即(，)；

综上，符合条件的点H的坐标为(，)或(，)或(，) ．

【点睛】

本题是二次函数与几何的综合题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，含30度角的直角三角形的*质，翻折变换，矩形的*质等知识，解题的关键是注意数形结合思想和分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题