阅读下面材料: 小敏遇到这一个问题:已知α为锐角,且tanα=,求tan2α的值.小敏根据锐角三角函数及三角形...
问题详情:
阅读下面材料:
小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验,先画出一个含
锐角α的直角三角形:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α.她通
过*思考及与同学进行交流、讨论后,形成了构造2α角的几种方法:
方法1:如图1,作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连结AD.
方法2:如图2,以直线BC为对称轴,作出△ABC的轴对称图形△A,BC.
图1 图2 图3
请你参考上面的想法,根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值.(一种方法即可)
【回答】
解:方法1:
∵线段AB的垂直平分线BC交于点D,
AD=BD, ……… …………1分
∴∠1=∠B
∵∠B=α ∴∠2=∠1+∠B=2α… ……3分
在Rt△ABC中,∠C=90°,tanα= ∴
设……………………………4分
在Rt△ADC中,∠C=90°,由勾股定理得,…… ……………5分
解得:……… ………………6分
∴……… ………………7分
方法2:过A作AD⊥A'B于点D. …………………………………………1分
∵△ABC、△A'BC关于BC对称,
∴∠1=∠ABC =α
∴∠A'BA=∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分
在Rt△ABC中,∠C=90°,tanα=∴
设…………………………3分
∵
∴………………………………………………………4分
∴……………………………………………………………5分
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
∴………………………………………………………………6分
∴………………………………………………7分
方法3:延长C'A交BC的延长线于点D. ………………………………………1分
∵△ABC、△ABC’关于直线AB对称,
∴∠1=∠ABC = α,BC'= BC
∴∠C'BC=∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分
∵tanα=∴设AC = k,则BC = 2k,
BC'= 2k……………………………………………………………………3分
设CD = x
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°,
∴△ACD ∽△BC’D………………………………………………………4分
∴ ∴
∴C'D = 2 x ∴AD =2x -k
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,
由勾股定理得, ……… ………5分
………… ……………6分
∴…… ………7分
知识点:画轴对称图形
题型:解答题