如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上...

问题详情：

如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．

（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

【回答】

1）依题意作出图形如图①所示；

（2）EB是平分∠AEC，理由：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，

∵点E是CD的中点，

∴DE=CE=CD=1，

在△ADE和△BCE中，，

∴△ADE≌△BCE，

∴∠AED=∠BEC，

在Rt△ADE中，AD=，DE=1，

∴tan∠AED==，

∴∠AED=60°，

∴∠BCE=∠AED=60°，

∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，

∴BE平分∠AEC；

（3）∵BP=2CP，BC==，

∴CP=，BP=，

在Rt△CEP中，tan∠CEP==，

∴∠CEP=30°，

∴∠BEP=30°，

∴∠AEP=90°，

∵CD∥AB，

∴∠F=∠CEP=30°，

在Rt△ABP中，tan∠BAP==，

∴∠PAB=30°，

∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，

∵CB⊥AF，

∴AP=FP，

∴△AEP≌△FBP，

∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，

变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．

【点睛】本题考查了矩形的*质，全等三角形的判定和*质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和灵活应用相关的*质与定理、判断出△AEP≌△△FBP是解本题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题