如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长半径作⊙P，⊙P...
问题详情：
如图，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P，⊙P 交 CE、BD、BC 交于 F、G、H（任意两点不重合），
（1）半径 BP 的长度范围为 ；
（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K，若 tan ÐKFC = 3 ，求 BP；
（3）连接 GH，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M，试探究
是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由.
【回答】
（1）
；（2）BP=1；（3）
【分析】
（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态，分别求出BP的值，因为任意点都不重合，所以BP在两者之间即可得出*；
（2）∠KFC和∠BFE是对顶角，得到
，得出EF的值，再根据△BEF∽△FEG，求出EG的值，进而可求出BP的值；
（3）设圆的半径，利用三角函数表示出PO，GO的值，看
用面积法求出
，在
中由勾股定理得出MQ的值，进而可求出PM的值即可得出*．
【详解】
（1）当G点与E点重合时，BG=BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BD=5，
∵CE⊥BD，
∴
,
∴
,
在△BEC中，由勾股定理得：
,
∴
,
当点G和点D重合时，如图所示：
∵△BCD是直角三角形，
∴BP=DP=CP,
∴
，
∵任意两点都不重合，
∴
，
（2）连接FG，如图所示：
∵∠KFC=∠BFE，tan ÐKFC = 3，
∴
，
∴
，
∴
,
∵BG是圆的直径，
∴∠BFG=90°，
∴∠GFE+∠BFE=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠FEG=∠FEB=90°，
∴∠GFE+∠FGE=90°，
∴∠BFE=∠FGE
∴△BEF∽△FEG，
∴
,
∴
,
∴
,
∴BG=EG+BE=2，
∴BP=1，
（3）
为定值，
过
作
,连接
，
，
交GH于点O，如下图所示：
设
，
则
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
【点睛】
本题考查了动圆问题，矩形的*质，面积法的运用，三角函数，相似三角形的判定和*质等知识点，属于圆和矩形的综合题，难度中等偏上，利用数形结合思想和扎实的基础是解决本题的关键．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
