已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知l：y=kx-1，是...

问题详情：

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知l：y=kx-1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，∴c=，则a2-b2=2…①， 椭圆过点A（，）．…②，解①②可得a2=3，b2=1，∴椭圆的方程： （Ⅱ）法1：当k=0时，直线l：y=-1，点不在椭圆上；

当k≠0时，可设直线，即2x+2ky-3-k=0 代入整理得（4k2+12）y2-4k（k+3）y+（k+3）2-12=0 因为，所以 若A，B关于直线l对称， 则其中点在直线y=kx-1上，所以，解得k=1 因为此时点在直线l上，所以对称点B与点A重合，不合题意 所以不存在k满足条件． 法2：设AB：x=-ky+m，代入椭圆方程化简得（k2+3）y2-2kmy+m2-3=0，，所以 若A，B关于直线l对称，则其中点在直线y=kx-1上， 所以，即2km=k2+3．又在直线AB：x=-ky+m上， 所以2m-k=3，消m得（3+k）k=k2+3，所以k=1 ，因为此时点在直线l上， 所以对称点B与点A重合，不合题意，所以不存在k满足条件．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题