设点A、B是抛物线y2＝4px(p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，...

问题详情：

设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

【回答】

解　设直线OA的方程为y＝kx (k≠±1，因为当k＝±1时，直线AB的斜率不存在)，则直线OB的方程为y＝－，

进而可求A、B(4pk2，－4pk)．

于是直线AB的斜率为kAB＝，

从而kOM＝，

∴直线OM的方程为y＝x，①

直线AB的方程为y＋4pk＝ (x－4pk2)．②

将①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，

即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③

又k2x－ky＝x，代入③式并化简，

得(x－2p)2＋y2＝4p2.

当k＝±1时，易求得直线AB的方程为x＝4p.

故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上．

∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，

∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题