设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么以P...

国语站题库 1.75W

问题详情：

设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．

【回答】

（x-2）2+（y-）2=4 【解析】

解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， ∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的*影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2， ∴|AF′|=2，PA∥x轴， ∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0， ∴x0=3， ∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4 故*为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的*影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单*质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．