如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A...
问题详情:
如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1
相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.
(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
【回答】
解 (1)设A(x0,y0),则S矩形ABCD=4|x0y0|,
由+y=1得y=1-,
从而xy=x=-2+.
当x=,y=时,Smax=6.
从而t2=x+y=5,t=,
∴当t=时,矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2:+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0),
又曲线的对称*及A(x0,y0),得B(x0,-y0),
设点M的坐标为(x,y),
直线AA1的方程为y= (x+3).①
直线A2B的方程为y= (x-3).②
由①②得y2=③
又点A(x0,y0)在椭圆C上,故y=1-.④
将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0).
因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0).
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题