已知点是椭圆C：上的一点，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、...
问题详情：
已知点
是椭圆C：
上的一点，椭圆C的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，斜率为
直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若
分别为直线AB，AD的斜率，求*：
为定值．
【回答】
（1）
（2）详见解析
【解析】（1）由题意，可得e=
=
，代入A（1，
）得
，..........2分
又
，解得
，.......................................................................3分
所以椭圆C的方程
．......................................................................................4分
（2）*：设直线BD的方程为y=
x+m，
又A、B、D三点不重合，∴
，
设D（x1，y1），B（x2，y2），
则由
得4x2+2
mx+m2-4=0...................6分
所以△=-8m2+64＞0，所以
＜m＜
．
x1+x2=-
m，
....................7分
设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则kAD+kAB=
...................................9分
=
......................................................11分
所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值...................................................12分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
