已知∠MAN＝135°，正方形ABCD绕点A旋转．,图①)　　　,图②)　　　,图③)(1)当正方形ABCD旋...

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已知∠MAN＝135°，正方形ABCD绕点A旋转．

,图①)　　　,图②)　　　,图③)

(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN.

①如图①，若BM＝DN，则线段MN与BM＋DN之间的数量关系是__MN＝BM＋DN__；

②如图②，若BM≠DN，请判断①中的数量关系关系是否仍成立？并说明理由；

(2)如图③，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．

【回答】

【解析】(1)①如图①，若BM＝DN，则线段MN与BM＋DN之间的数量关系是MN＝BM＋DN.理由：△ADN≌△ABM(SAS)，∴AN＝AM，∠NAD＝∠MAB.∵∠MAN＝135°，∠BAD＝90°，∴∠NAD＝∠MAB＝(360°－135°－90°)＝67.5°.作AE⊥MN于点E，则MN＝2NE，∠NAE＝∠MAN＝67.5°.∴△ADN≌△AEN(AAS)，∴DN＝EN.∵BM＝DN，MN＝2EN，∴MN＝BM＋DN.②如图②，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由：将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，易知N，D，E三点共线．∵AM＝AE，∠MAE＝90°，∴∠EAN＝360°－∠MAN－∠MAE＝360°－135°－90°＝135°，∴∠MAN＝∠NAE，∴△ANM≌△ANE(SAS)，∴MN＝EN.∵EN＝DE＋DN＝BM＋DN，∴MN＝BM＋DN.

(2)结论：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由：如图③，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接NE，∵∠MAE＝90°，∠MAN＝135°，∴∠NAE＝360°－∠MAN－∠MAE＝135°，∴∠EAN＝∠MAN.∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN，∴MN＝EN.∵∠ADE＝∠ABM＝∠BDA＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴DN2＋DE2＝NE2.∵BM＝DE，MN＝EN，∴DN2＋BM2＝MN2，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．

知识点：图形的旋转

题型：解答题