如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与*线BA、直线AC...

问题详情：

如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与*线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与*线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．

（1）如图1，点E在线段AB上时，①求*：AE＝CF；②求*：DP垂直平分EF；

（2）当AE＝1时，求PQ的长．

【回答】

【分析】（1）①只要*△ADE≌△CDE（ASA）即可解决问题；

②利用相似三角形的*质*∠PDQ＝45°即可解决问题；

（2）①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．由△AQD∽△EQP，可知AQ•PQ＝DQ•EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G，方法类似．

【解答】（1）①*：∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，

∴∠ADC＝∠MDN＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDE（ASA），

∴AE＝CF．

②∵△ADE≌△CDE（ASA），

∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，

∴∠DEF＝45°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，

∴△AQD∽△EQP，

∴＝，

∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，

∴△AQE∽△DQP，

∴∠QDP＝∠QAE＝45°，

∴∠DPE＝90°，

∴DP⊥EF，∵DE＝DF，

∴PE＝PF，

∴DP垂直平分线段EF．

（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．

在Rt△ADE中，DE＝＝，

∵∠QAH＝∠QAG＝45°，

∴HO＝QE＝AH＝EQ，设QH＝x，

∵×4×x+×1×x＝×1×4，

∵x＝，

∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，

∵△AQD∽△EQP，

∴AQ•PQ＝DQ•EQ，

∴PQ＝＝．

②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．

在Rt△ADE中，DE＝＝，

∵∠QAH＝∠QAG＝45°，

∴HO＝QE＝AH＝EQ，设QH＝x，

∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，

∵x＝，

∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，

∵△AQD∽△EQP，

∴AQ•PQ＝DQ•EQ，

∴PQ＝＝．

综上所述，PQ的长为或．

【点评】本题考查正方形的*质，全等三角形的判定和*质，相似三角形的判定和*质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

知识点：相似三角形

题型：解答题