如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转得到线段MN,在CD边上取...
问题详情:
如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋
转得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.
(1)求*:四边形BMNP是平行四边形; (2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量
关系?请说明理由.
【回答】
(1)*:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C,
在△ABM和△BCP中,
AB=BC, ∠ABC=∠C,CP=BM,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
(2)解:BM=MC.
理由如下:
∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABM=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴=,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴=,
∴=,
∴BM=MC.
知识点:相似三角形
题型:解答题