在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：   已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以A...

问题详情：

在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：

    已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边

三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是：         ．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请*，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求*：PB+PC+PA=BE．

【回答】

（1）AD =BE．

（2）AD =BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°.

*：∵△ACE和△BCD是等边三角形

∴EC = AC，BC=DC

∠ACE=∠BCD=60°

∴∠ACE+∠ACB =∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD

在△ECB和△ACD中，

∴△ECB≌△ACD（SAS）

∴AD =BE

∠CEB=∠CAD

设BE与AC交于Q

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP +∠APQ =∠EQC+∠CEQ +∠ECQ=180°

∴∠APQ =∠ECQ=60°，即∠APE=60°．  

（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°    

在PE上截取PH=PC，连接HC，

∴△PCH为等边三角形

∴HC=PC，∠CHP=60°

∴∠CHE=120°

又∵∠APE=∠CPE =60°

∴∠CPA=120°

∴∠CPA=∠CHE

在△CPA和△CHE中，

∴△CPA≌△CHE（AAS）

∴AP =EH  

∴PB+PC+PA= PB+PH+ EH =BE．

知识点：三角形全等的判定

题型：综合题