如图,在梯形中,,,四边形为矩形,平面平面,.(Ⅰ)求*:平面;(Ⅱ)点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的...
问题详情:
如图,在梯形中,,,四边形为矩形,平面平面,.
(Ⅰ)求*:平面;
(Ⅱ)点在线段上运动,设平面与平面所成二面角的平面角为,试求的取值范围.
【回答】
(I)*:在梯形中,
∵ ,,∠=,
∴ ∴ ,
∴ ∴ ⊥
∵ 平面⊥平面,平面∩平面,平面
∴ ⊥平面
(II)解法一:由(I)可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系, , , 设为平面MAB的一个法向量,由得 取,则, ∵ 是平面FCB的一个法向量
∴ ∵
∴ 当时,有最小值, 当时,有最大值。 ∴
解法二:①当与重合时,取中点为,连结
∵ ,∴ ∴⊥
∵ ∴ ⊥ ∴ ∠=
∵ ⊥ ∴ ∴,
②当与重合时,过,
连结,则平面∩平面=,
∵ ⊥,又∵⊥
∴ ⊥平面∴ ⊥平面
∴ ∠=∴ =,∴ =
③当与都不重合时,令
延长交的延长线于,连结
∴ 在平面与平面的交线上
∵ 在平面与平面的交线上
∴ 平面∩平面=
过C作CG⊥NB交NB于G ,连结AG,
由(I)知,⊥, 又∵AC⊥CN,∴ AC⊥平面NCB
∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB,AC∩CG=C,∴ NB⊥平面ACG ∴AG⊥NB ∴ ∠AGC=
在中,可求得NC=,从而,在中,可求得CG=
∵ ∠ACG= ∴AG=∴
∵ ∴ 综合①②③得,
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题