如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．下列结论：①DM=DA；②...
问题详情：
如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM=DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE=S△ADE；④BE2=2AE•EC．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【回答】
C【考点】相似三角形的判定与*质；勾股定理；矩形的*质．
【分析】①由于DM是直角△ADE斜边AE上的中线，欲*DM=DA，只需*AD=
AE即可；②在直角△ADE中，由于∠ADE=90°，AD=
AE，得出∠DEA=30°，然后分别算出∠AEB与∠CEB的度数即可；③由于S△ABE=
S矩形ABCD，S△ADE＜
S矩形ABCD，从而进行判断；④如果设BC=DA=a，则可用含a的代数式表示BC、AE、EC的长度，然后在直角△BCE中运用勾股定理算出BE2的值，再算出2AE•EC的值，比较即可．
【解答】解：①∵在直角△ADE中，∠ADE=90°，M为AE的中点，∴DM=
AE，∵AE=AB，AB=2BC=2DA，∴DM=DA，正确；
②在直角△ADE中，∠ADE=90°，AD=
AE，∴∠DEA=30°．∵CD∥AB，∴∠EAB=∠DEA=30°，∠CEB=∠ABE．在△EAB中，∠EAB=30°，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=75°，∴∠CEB=75°，∴EB平分∠AEC，正确；
③∵S△ABE=S矩形ABCD，S△ADE＜S△ADC=S矩形ABCD，∴S△ABE＞S△ADE，错误；
④在矩形ABCD中，设BC=DA=a，则AE=AB=DC=2BC=2a，DE=
AD=
a，∴EC=（2﹣
）a．在直角△BCE中，BE2=BC2+CE2=a2+[（2﹣）a]2=（8﹣4）a2，2AE•EC=2×2a×（2﹣
）a=（8﹣4
）a2，正确．
故选C．
【点评】本题主要考查了直角三角形、矩形的*质以及多边形的面积，勾股定理．综合*较强，有一定难度．
知识点：特殊的平行四边形
题型：选择题
