如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转9...

问题详情：

如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．

①若S△PMN＝2，求k的值；

②*：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；

③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

【回答】

【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，

即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），

则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，

点P（1，4）；

（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：

x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，

设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），

则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，

则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，

同理：y1y2＝9﹣4k2，

①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），

S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，

|x2﹣x1|＝，

解得：k＝±2；

②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），

则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，

为：k1k2＝＝＝﹣1，

故PM⊥PN，

即：△PMN恒为直角三角形；

③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，

设点H坐标为（x，y），

则x＝＝1﹣k，

y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），

整理得：y＝﹣2x2+4x+1，

即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．

知识点：各地中考

题型：综合题