.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(1,0),连接BA,将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线...
问题详情:
.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(1,0),连接BA,将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,反比例函数y=的图象G经过点C.
(1)请直接写出点C的坐标及k的值;
(2)若点P在图象G上,且∠POB=∠BAO,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,若Q(0,m)为y轴正半轴上一点,过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M,与直线OP交于点N,若点M在点N左侧,结合图象,直接写出m的取值范围.
【回答】
【解答】解:(1)过C点作CH⊥x轴于H,如图,
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°,得到线段BC,
∴BA=BC,∠ABC=90°,
∵∠ABO+∠CBH=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠CBH,
在△ABO和△BCH中,
∴△ABO≌△BCH(AAS),
∴CH=OB=1,BH=OA=3,
∴C(4,1),
∵点C落在函数y=(x>0)的图象上,
∴k=4×1=4;
(2)过O作OP∥BC交y=的图象于点P,过P作PG⊥x轴于G,
∵∠POG=∠OAB,
∵∠AOB=∠PGO,
∴△OAB∽△OHP,
∴PG:OG=OB:OA=1:3,
∵点P在y=上,
∴3yP•yP=4,
∴yP=,
∴点P的坐标为(2,);
(3)∵Q(0,m),
∴OQ=m,
∵OM∥x轴,与图象G交于点M,与直线OP交于点N,
∴M(,m),N(3m,m),
∵点M在点N左侧,
∴<3m,
∵m>0,
∴m>.
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,三角形全等的判定与*质,相似三角形的判定和*质,反比例函数图象上点的坐标特征,正确作出辅助线是解题的关键.
知识点:反比例函数
题型:解答题