已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G  不与正方形顶点重合，且在CD的同侧...

问题详情：

已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G

   不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，

    将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF.

(1)如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时.

①求*：DG=2PC；

②求*：四边形PEFD是菱形；

(2)如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD

   是怎样的特殊四边形，并*你的猜想.

第25题图1                    第25题图2         

【回答】

1）①*：如图1作PM⊥AD于点M

∵PD=PG，∴MG=MD，又∵MD=PC∴DG=2PC                    

 ②*：∵PG⊥FD于H ∴∠DGH+∠ADF= 90°                                     

      又∵∠ADF+∠AFD= 90°∴∠DGP=∠AFD       

     ∵四边形ABCD是正方形，PM⊥AD于点M，                第25题 图1

     ∴∠A=∠PMD= 90°，PM=AD，

    ∴△PMG≌△DAF      ∴DF=PG∵PG=PE∴FD=PE，      

∵DF⊥PG，PE⊥PG∴DF∥PE 

∴四边形PEFD是平行四边形.  

又∵PE=PD∴□PEFD是菱形              

（2）四边形PEFD是菱形      

*：如图②

∵四边形ABCD是正方形，DH⊥PG于H                     第25题图2

∴∠ADC=∠DHG=90°∴∠CDG=∠DHG=90°∴∠CDP+∠PDG=90°，∠GDH+∠G=90°

∵PD=PG       ∴∠PDG=∠G  ∴∠CDP=∠GDH       ∴∠CDP=∠ADF              

又∵AD=DC，∠FAD=∠PCD=90°   ∴△PCD≌△FAD       ∴FD=PD

       ∵ PD=PG=PE    ∴FD=PE 又∵FD⊥PG，PE⊥PG     ∴FD∥PE  

∴四边形PEFD是平行四边形.    又∵FD=PD    ∴□PEFD是菱形            

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题