.已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有*质T.（Ⅰ）判断下列函数是否具有*质...

问题详情：

.已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有*质T.

（Ⅰ）判断下列函数是否具有*质T ？并说明理由;

①    ；②.

（Ⅱ）若函数具有*质T，求的最小值;

（Ⅲ）设函数具有*质T，且存在，使得，都有成立，求*：是周期函数.

【回答】

【详解】（Ⅰ）函数不具有*质T，函数具有*质T.理由如下：

①假设函数具有*质T，即存在正数，使得恒成立.

则 对恒成立.

所以 此方程组无解，与存在正数矛盾.

所以 函数不具有*质T.

②取，则，

即对恒成立.

所以 函数具有*质T.

（Ⅱ）因为函数具有*质T，

 所以存在正数，使得，都有恒成立.

令，则对恒成立.

若，取，则，矛盾；

若，取，则，即，矛盾；

所以

则 当且仅当时，对恒成立.

因为 ，      所以 .

所以 当时，函数具有*质T.

所以 的最小值是.

（Ⅲ）因为 函数具有*质T，

所以 存在正数，使得，恒成立.

所以 ，以此类推可得.

用代替，可得

因为 不是常数函数，

所以 存在，使得.

若，则.             

所以 .

因为 存在，使得，都有成立，

取，则，矛盾.

若，则.         

同上可知存在，使得，矛盾.

所以 .

所以对，.

所以是周期为1的函数.

知识点：三角函数

题型：综合题