记min{x，y}=设f（x）=min{x2，x3}，则（　　）A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（...

问题详情：

记min{x，y}=设f（x）=min{x2，x3}，则（　　）

A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）

B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）

C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）

D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）

【回答】

C【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用．

【分析】求出f（x）的解析式，对t的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的单调*和值域，从而得出*．

【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x），

∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，

∴f（x）=．

若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2，

|f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3，

f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3，

若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0，

|f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3，

f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3，

当t=1时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0，

|f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2，

f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2，

∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t）﹣f（﹣t），

故A错误，B错误；

当t＞0时，令g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2，

则g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）=0得﹣3t2+8t﹣1=0，

∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，

∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，

∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，

∴|g（t0）|＞g（t0），

故C正确；

令h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t，

则h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣）2+＞0，

∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0，

∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t），

故D错误．

故选C．

知识点：函数的应用

题型：选择题