已知圆，直线.(1)求直线所过定点的坐标；(2)求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.(3)已知点，在直...

问题详情：

已知圆，直线.

(1)求直线所过定点的坐标；

(2)求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.

(3)已知点，在直线上(为圆心)，存在定点(异于点)，满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.

【回答】

.解：(1)依题意得，，

令，且，得，，∴直线过定点.

(2)当时，所截得弦长最短，由题知，.

∴，得，∴由得.

∴圆心到直线的距离为.

∴最短弦长为.

(3)法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，

则设，，得，且，

∴，

∴，

整理得：，

∵上式对任意恒成立，

∴且，

解得，或，(舍去，与重合)，

综上可知，在直线上存在定点，使得为常数.

法二：设直线上的点.

取直线与圆的交点，则，

取直线与圆的交点，则，

令，解得或(舍去，与重合)，此时，

若存在这样的定点满足题意，则必为.

下*：点满足题意，

设圆上任意一点，则，

∴，

∴.

综上可知，在直线上存在定点，使得为常数.

知识点：圆与方程

题型：解答题