已知圆F1:(x+1)2+y2=r2与圆F2:(x﹣1)2+y2=(4﹣r)2(0<r<4)的公共点的轨迹为曲...
问题详情:
已知圆F1:(x+1)2+y2=r2与圆F2:(x﹣1)2+y2=(4﹣r)2(0<r<4)的公共点的轨迹为曲线E,且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)*直线AB恒过定点,并求定点的坐标;
(Ⅲ)求△ABM的面积的最大值.
【回答】
【考点】J3:轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)确定|QF1|+|QF2|=4>|F1F2|,可得曲线E是长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆,且b2=a2﹣c2=3,即可求E的方程;
(Ⅱ)分类讨论,设直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合直线MA,MB的斜率之积为,即可*直线AB恒过定点,并求定点的坐标;
(Ⅲ)求出△ABM的面积,利用基本不等式求出最大值.
【解答】解:(Ⅰ)设⊙F1,⊙F2的公共点为Q,由已知得,|F1F2|=2,|QF1|=r,|QF2|=4﹣r,
故|QF1|+|QF2|=4>|F1F2|,
因此曲线E是长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆,且b2=a2﹣c2=3,
所以曲线E的方程为
(Ⅱ)由曲线E的方程得,上顶点,由题意知,x1≠0,x2≠0.
若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为,
故y1=﹣y2,,
因此,
与已知不符,因此直线AB的斜率存在
设直线AB:y=kx+m,代入椭圆E的方程(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)=0①
因为直线AB与曲线E有公共点A,B,所以方程①有两个非零不等实根x1,x2
所以,
又,
由得,,
即,
所以,
化简得,
故m=.
结合,
即直线AB恒过定点N(0,2.
(Ⅲ)由
又====
当且仅当4k2﹣9=12,即时,△ABM的面积最大,最大值为
知识点:圆与方程
题型:解答题