如图,E是矩形ABCD内的一个动点,连接EA、EB、EC、ED,得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA,设...
问题详情:
如图,E是矩形ABCD内的一个动点,连接EA、EB、EC、ED,得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA,设它们的面积分别是m、n、p、q,给出如下结论:
①m+n=q+p;
②m+p=n+q;
③若m=n,则E点一定是AC与BD的交点;
④若m=n,则E点一定在BD上.
其中正确结论的序号是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
【回答】
B【考点】矩形的*质.
【分析】过E作MN⊥AB,交AB于M,CD于N,作GH⊥AD,交AD于G,BC于H,由矩形的*质容易*出①不正确,②正确;若m=n,则p=q,作AP⊥BE于P,作CQ⊥DE于Q,延长BE交CD于F,先*AP=CQ,再*△ABP≌△CFQ,得出AB=CF,F与D重合,得出③不正确,④正确,即可得出结论.
【解答】解:过E作MN⊥AB,交AB于M,CD于N,作GH⊥AD,交AD于G,BC于H,如图1所示:
则m=ABEM,n=BCEH,p=CDEN,q=ADEG,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=GH,BC=AD=MN,
∴m+p=ABMN=ABBC,n+q=(BCGH=BCAB,
∴m+p=n+q;
∴①不正确,②正确;
若m=n,则p=q,作AP⊥BE于P,作CQ⊥DE于Q,延长BE交CD于F,如图2所示:
则∠APB=∠CQF=90°,
∵m=BEAP,n=BECQ,
∵m=n,
∴AP=CQ,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠2,
在△ABP和△CFQ中,
,
∴△ABP≌△CFQ(AAS),
∴AB=CF,
∴F与D重合,
∴E一定在BD上;
∴③不正确,④正确.
故选:B.
【点评】本题考查了矩形的*质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与*质;熟练掌握矩形的*质,*三角形全等是解决问题的关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题