如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直...
问题详情：
如图，已知二次函数
的图象经过点
，
，与
轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点
，使
，若存在请直接写出点
的坐标．若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）
；（2）存在，
，
【解析】
（1）把点AB的坐标代入
即可求解；
（2）分点P在
轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．
【详解】
（1）∵二次函数
的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：
；
（2）存在，理由如下：
当点P在
轴下方时，
如图，设AP与
轴相交于E，
令
，则
，
∴点C的坐标为(0，3)，
∵A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴∠ABC=45
，
∵∠PAB=∠ABC=45
，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴OA=OE=1，
∴点E的坐标为(0，-1)，
设直线AE的解析式为
，
把A(-1，0)代入得：
，
∴直线AE的解析式为
，
解方程组
，
得：
(舍去)或
，
∴点P的坐标为(4，
)；
当点P在
轴上方时，
如图，设AP与
轴相交于D，
同理，求得点D的坐标为(0，1)，
同理，求得直线AD的解析式为
，
解方程组
，
得：
(舍去)或
，
∴点P的坐标为(2，
)；
综上，点P的坐标为(2，
)或(4，
)
【点睛】
本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和*质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
