问题详情:
如图,点P是x轴上一点,以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点,
已知A(-3,0)、B(1,0),过点C作⊙P的切线交x轴于点E.(1)求直线CE的解析式;(2)若点F是线段CE上一动点,点F的横坐标为m,问m在什么范围时,直线FB与⊙P相交?(3)若直线FB与⊙P的另一个交点为N,当点N是
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ADB |
的中点时,求点F的坐标;(4)在(3)的条件下,CN交x轴于点M,求CM•CN的值.
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分析:(1)连PC,利用OC2=OA•OB,得OC=
,得C的坐标,利用CE是⊙P的切线,求E的坐标,设直线CE的解析式为y=kx+b,将C、E两点坐标代入解析式,可得直线CE的解析式;(2)当0≤m≤3且m≠1时,直线FB与⊙P相交;(3)先求得N(-1,-2)设直线NB的解析式为y=kx+b,把N、B两点坐标代入解析式,求直线NB的解析式.解两直线表达式组成的方程组,求交点坐标;(4)连接AC、BC,点N是
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ADB |
的中点,易*△AMC∽△NBC.所以
=
,即MC•NC=BC•AC.分别求相关线段的长得解.
解答:解:(1)连PC.∵A(-3,0),B(1,0),∴⊙P的直径是4,∴半径R=2,OP=1.又∵CD⊥AB,AB是直径,∴OC2=OA•OB=3×1=3,∴OC=
.∴C(0,
). (1分)又∵⊙P的半径是2,OP=1,∴∠PCO=30°.又CE是⊙P的切线,
∴PC⊥CE.∴∠PEC=30°.∴PE=2PC=4,EO=PE-MP=3.∴E(3,0). (2分)设直线CE的解析式为y=kx+b,将C、E两点坐标代入解析式,得
,解得
.∴直线CE的解析式为y=-
x+
①;(4分)(2)∵m=1时,直线FB与⊙P相切,∴m≠1.∵E(3,0),∴当0≤m≤3且m≠1时,直线FB与⊙P相交;(6分)(3)解法一:∵点N是
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ADB |
的中点,∴N(-1,-2).设直线NB的解析式为y=kx+b,把N、B两点坐标代入解析式,得
,解得
.∴直线NB的解析式为y=x-1 ②.由①,②式得
,解得
.∴F(
,
-1). (10分)解法二:过点F作FH⊥BE于H,∵N是
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ADB |
的中点,则∠ABN=∠FBE=45°,∴∠BFH=45°,∴BH=FH.由(1)知∠CEP=30°,∴HE=
FH.∵OE=OB+BH+HE,∴1+FH+
FH=3,FH=
-1,∴OH=OB+BH=1+(
-1)=
.∴F(
,
-1);(4)连接AC、BC.∵点N是
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ADB |
的中点,∴∠NCA=∠CAN,又∠CAB=∠CNB,∴△AMC∽△NBC.∴
=
,∴MC•NC=BC•AC.∵OA=OE=3,∴△ACE为等腰三角形.∴AC=CE=
=
=2
,BC=
=2.∴MC•NC=BC•AC=4
. (14分)
点评:主要考查了函数和几何图形的综合运用.解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的*质来表示相应的线段之间的关系,再结合具体图形的*质求解.试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会.
【回答】
分析:(1)连PC,利用OC2=OA•OB,得OC=
,得C的坐标,利用CE是⊙P的切线,求E的坐标,设直线CE的解析式为y=kx+b,将C、E两点坐标代入解析式,可得直线CE的解析式;(2)当0≤m≤3且m≠1时,直线FB与⊙P相交;(3)先求得N(-1,-2)设直线NB的解析式为y=kx+b,把N、B两点坐标代入解析式,求直线NB的解析式.解两直线表达式组成的方程组,求交点坐标;(4)连接AC、BC,点N是
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的中点,易*△AMC∽△NBC.所以
=
,即MC•NC=BC•AC.分别求相关线段的长得解.
解答:解:(1)连PC.∵A(-3,0),B(1,0),∴⊙P的直径是4,∴半径R=2,OP=1.又∵CD⊥AB,AB是直径,∴OC2=OA•OB=3×1=3,∴OC=
.∴C(0,
). (1分)又∵⊙P的半径是2,OP=1,∴∠PCO=30°.又CE是⊙P的切线,
∴PC⊥CE.∴∠PEC=30°.∴PE=2PC=4,EO=PE-MP=3.∴E(3,0). (2分)设直线CE的解析式为y=kx+b,将C、E两点坐标代入解析式,得
,解得
.∴直线CE的解析式为y=-
x+
①;(4分)(2)∵m=1时,直线FB与⊙P相切,∴m≠1.∵E(3,0),∴当0≤m≤3且m≠1时,直线FB与⊙P相交;(6分)(3)解法一:∵点N是
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的中点,∴N(-1,-2).设直线NB的解析式为y=kx+b,把N、B两点坐标代入解析式,得
,解得
.∴直线NB的解析式为y=x-1 ②.由①,②式得
,解得
.∴F(
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-1). (10分)解法二:过点F作FH⊥BE于H,∵N是
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的中点,则∠ABN=∠FBE=45°,∴∠BFH=45°,∴BH=FH.由(1)知∠CEP=30°,∴HE=
FH.∵OE=OB+BH+HE,∴1+FH+
FH=3,FH=
-1,∴OH=OB+BH=1+(
-1)=
.∴F(
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-1);(4)连接AC、BC.∵点N是
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的中点,∴∠NCA=∠CAN,又∠CAB=∠CNB,∴△AMC∽△NBC.∴
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,∴MC•NC=BC•AC.∵OA=OE=3,∴△ACE为等腰三角形.∴AC=CE=
=
=2
,BC=
=2.∴MC•NC=BC•AC=4
. (14分)
点评:主要考查了函数和几何图形的综合运用.解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的*质来表示相应的线段之间的关系,再结合具体图形的*质求解.试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会.
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