如图，在梯形中，，，，．P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交*线于点E．聪聪根据学习函数的经...

问题详情：

如图，在梯形中，，，，．P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交*线于点E．

聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：

（1）通过推理，他发现，请你帮他完成*．

（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点P，得到不同位置时，、的长度的对应值：

当时，得表1：

当时，得表2：

这说明，点P在线段上运动时，要保*点E总在线段上，的长度应有一定的限制．

①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，_____的长度为自变量，_____的长度为因变量；

②设，当点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．

【回答】

（1）*见解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤

【解析】（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因为∠B＝∠C＝90°，即可*得相似；

（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，即可判断自变量和因变量；

②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，由△ABP∽△PCE，利用对应边成比例求出y与x的函数关系式，利用二次函数*质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；

【详解】解：（1）*：∵，

∴∠APE＝90°，

∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，

∴∠APB＝∠CEP，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABP∽△PCE；

（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，所以BP的长度为自变量，CE的长度为因变量；

故*为：BP，CE；

②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，

∵△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y＝

＝，

∴当x＝时，y取得最大值，最大值为，

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，

∴≤2，

解得m≤，

∴m的取值范围为：0＜m≤．

【点睛】

本题考察了代数几何综合题、相似三角形的判定与*质、梯形的*质、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数*质的应用．

知识点：相似三角形

题型：解答题