已知函数,.(1)判断函数的奇偶*和单调*(无需*);(2)若且在上的最小值,求的值.
问题详情:
已知函数,.
(1)判断函数的奇偶*和单调*(无需*);
(2)若且在上的最小值,求的值.
【回答】
(1)*见解析;(2).
【分析】
(1)分和两种情况讨论,可得出函数的单调*,利用函数奇偶*的定义可判断出函数的奇偶*;
(2)由可求得,换元,可得出,将问题转化为由二次函数在上的最小值为,求出实数的取值范围,然后对实数的取值进行分类讨论,分析二次函数在区间上的单调*,结合已知条件可求得实数的值.
【详解】
(1)当且时,函数的定义域为,
,所以,函数为奇函数.
当时,函数为上的减函数;当时,函数为上的增函数;
(2),整理可得,
且,解得,,
由(1)可知,函数为上的增函数,
当时,令,则,则,
所以,,
二次函数的图象开口向上,对称轴为直线.
①当时,函数在区间上单调递增,则,
解得,不合乎题意,舍去;
②当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
此时,,解得或(舍去).
综上所述,.
【点睛】
在求解与指数函数相关的复合函数在区间上的最值,可考虑利用换元法将函数变形为基本初等函数的最值,本题中,利用换元转换为二次函数在区间上的最值求参数,可将复杂的问题转化为我们所熟悉的函数问题来求解.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题