如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点,且. （1）求*：为的切线；...
问题详情：
如图，在
中，
为
上一点，以
为圆心，
长为半径作圆，与
相切于点
，过点
作
交
的延长线于点
,且
.
（1）求*：
为
的切线；
（2）若
，
,求
的长.
【回答】
(1)*见解析；（2）
【解析】
（1）作OE⊥AB于点E，*△OBC≌△OBE，根据全等三角形的对应边相等可得OE=OC， OE是⊙O的半径 ，OE⊥AB ，即可判定AB为⊙O的切线；
（2）根据题意先求出AO、BO的长，再*△AOD∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.
【详解】（1）作OE⊥AB于点E，
∵
切BC于点C，
∴OC⊥BC，∠ACB=90°，
∵ AD⊥BD，∴∠D=90°，
∴∠ABD＋∠BAD =90°，∠CBD＋∠BOC=90°，
∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD，
∴∠BOC=∠BAD，
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC和△OBE中
，
∴△OBC≌△OBE，
∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径 ，
∵OE⊥AB ，∴AB为⊙O的切线；
（2） ∵tan∠ABC=
，BC=6，
∴AC=8，∴AB=
，
∵BE=BC=6，∴AE=4，
∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE=
，∴EO=3，
∴AO=5，OC=3，∴BO=
，
在△AOD和△BOC中
，
∴△AOD∽△BOC，∴
，
即 
，∴AD=
.
【点睛】本题考查了切线的判定与*质，相似三角形的判定与*质等，熟练掌握相关的判定与*质定理是解题的关键.
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
