(1)观察与归纳:在如图1所示的平面直角坐标系中,直线l与y轴平行,点A与点B是直线l上的两点(点A在点B的上...
问题详情:
(1)观察与归纳:在如图1所示的平面直角坐标系中,直线l与y轴平行,点A与点B是直线l上的两点(点A在点B的上方).
①小明发现:若点A坐标为(2,3),点B坐标为(2,﹣4),则AB的长度为 7 ;
②小明经过多次取l上的两点后,他归纳出这样的结论:若点A坐标为(t,m),点B坐标为(t,n),当m>n时,AB的长度可表示为 m﹣n ;
(2)如图2,正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+6交于点A,点B是y=﹣x+6图象与x轴的交点,点C在第四象限,且OC=5.点P是线段OB上的一个动点(点P不与点0、B重合),过点P与y轴平行的直线l交线段AB于点Q,交*线OC于R,设点P横坐标为t,线段QR的长度为m.已知当t=4时,直线l恰好经过点C.
①求点A的坐标;
②求OC所在直线的关系式;
③求m关于t的函数关系式.
【回答】
【分析】(1)直线AB与y轴平行,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B两点横坐标相等,再根据AB的长度为|y1﹣y2|即可求得,
(2)①联立方程,解方程得出A点的坐标;
②根据勾股定理求得C点坐标,然后根据待定系数法即可求得OC所在直线的关系式;
③分两种情况分别讨论求出即可.
【解答】解:(1)①若点A坐标为(2,3),点B坐标为(2,﹣4),则AB的长度为3﹣(﹣4)=7;
②若点A坐标为(t,m),点B坐标为(t,n),当m>n时,AB的长度可表示为m﹣n;
故*为7;m﹣n;
(2)①解得,
∴A(3,3);
②∵直线l平行于y轴且当t=4时,直线l恰好过点C,如图2,作CE⊥OB于E,
∴OE=4,
在Rt△OCE中,OC=5,
由勾股定理得:
CE==3,
∴点C的坐标为:(4,﹣3);
设OC所在直线的关系式为y=kx,则﹣3=4k,
∴k=﹣,
∴OC所在直线的关系式为y=﹣x;
③由直线y=﹣x+6可知B(6,0),
作AD⊥OB于D,
∵A(3,3),
∴OD=BD=AD=3,
∴∠AOB=45°,OA=AB,
∴∠OAB=90°,∠ABO=45°
当0<t≤3时,如图2,
∵直线l平行于y轴,
∴∠OPQ=90°,
∴∠OQP=45°,
∴OP=QP,
∵点P的横坐标为t,
∴OP=QP=t,
在Rt△OCE中,
∵tan∠EOC=|k|=,
∴tan∠POR==,
∴PR=OPtan∠POR=t,
∴QR=QP+PR=t+t=t,
∴m关于t的函数关系式为:m=t;
当3<t<6时,如图3,
∵∠BPQ=90°,∠ABO=45°,
∴∠BQP=∠PBQ=45°,
∴BP=QP,
∵点P的横坐标为t,
∴PB=QP=6﹣t,
∵PR∥CE,
∴△BPR∽△BEC,
∴=,
∴=,
解得:PR=9﹣t,
∴QR=QP+PR=6﹣t+9﹣t=15﹣t,
∴m关于t的函数关系式为:m=15﹣t;
综上,m关于t的函数关系式为m=.
【点评】此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与*质和勾股定理等知识,利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键.
知识点:相似三角形
题型:综合题