在底面是正方形的四棱錐中,,,點在上,且.(Ⅰ)求*:平面;(Ⅱ)求二面角的餘弦值.
問題詳情:
在底面是正方形的四棱錐中,,,點在上,且.
(Ⅰ)求*:平面;
(Ⅱ)求二面角的餘弦值.
【回答】
(1)見解析;(2).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)易*,,從而可*平面;
(Ⅱ)以A爲座標原點,直線分別x軸、y軸、z軸,建立空間直角座標系,求得平面ACE的法向量爲,及平面ACD的法向量,由法向量夾角公式求解即可.
試題解析:
(1)正方形ABCD邊長爲1,PA=1,,
所以,即,
根據直線和平面垂直的判定定理,有平面.
(2)如圖,以A爲座標原點,直線分別x軸、y軸、z軸,建立空間直角座標系.
則,
由(1)知爲平面ACD的法向量,,
設平面ACE的法向量爲,
則
令,則,
設二面角的平面角爲,則=,
又有圖可知,爲銳角,
故所求二面角的餘弦值爲.
點睛:用空間向量求解立體幾何問題的注意點
(1)建立座標系時要確保條件具備,即要*得到兩兩垂直的三條直線,建系後要準確求得所需點的座標.
(2)用平面的法向量求二面角的大小時,要注意向量的夾角與二面角大小間的關係,這點需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角,然後作出正確的結論.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題