如圖,在四棱錐中,底面爲直角梯形,∥,,平面⊥底面,爲的中點,是棱上的點,,,.(Ⅰ)求*:平面⊥平面;(Ⅱ)...
問題詳情:
如圖,在四棱錐中,底面爲直角梯形,∥,,平面⊥底面,爲的中點,是棱上的點,,,.
(Ⅰ)求*:平面⊥平面;
(Ⅱ)若滿足,求異面直線與所成角的餘弦值;
(Ⅲ)若二面角大小爲60°,求的長 .
【回答】
(Ⅰ)∵AD // BC,BC=AD,Q爲AD的中點,
∴四邊形BCDQ爲平行四邊形,
∴CD // BQ .
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ平面MQB,
∴平面MQB⊥平面PAD.
(Ⅱ)∵PA=PD,Q爲AD的中點,
∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且
平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
如圖,以Q爲原點建立空間直角座標系.則,,,,
由 ,且,得
∵,
∴
∴
設異面直線AP與BM所成角爲
則=
∴異面直線AP與BM所成角的餘弦值爲
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面BQC的法向量爲
由 ,且,得
又,
∴ 平面MBQ法向量爲.
∵二面角M-BQ-C爲30°, ∴,
∴ .∴
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題